부동 소수점(Floating Point) 표현

1. 부동 소수점Floating Point) 이란?

• 컴퓨터에서 실수를 표현하기 위해 소수점의 위치를 고정하지 않는 것을 의미함
  • 123.45 라는 숫자를 표현하고 싶을 때, 0.12345 * 10³ , 1.2345 * 10² 와 같이 소수점 위치를 옮기며 지수를 조정
• 표현할 수 있는 범위가 매우 넓다는 장점을 가짐
• 2진수로 실수를 표현할 때 무한 소수가 되는 경우에는 근사값을 저장하므로 미세한 오차가 발생할 수 있음

 

2. IEEE 754 표준 구조

• 대부분의 컴퓨터에서 사용하는 부동소수점의 표준
• float 타입을 기준으로 메모리는 다음과 같이 실수를 세 부분으로 나뉘어 저장함
  • 부호(SIgn) 비트 : 0이면 양수, 1이면 음수 (1 bit)
  • 지수(Exponent) 비트 : 소수점의 위치를 결정하며, 숫자의 크기를 나타냄 (8 bit)
  • 가수(Fraction/Mantissa) 비트 : 실제 숫자의 정밀한 값을 저장함 (23 bit)

 

3. 부동 소수점 변환 과정

1. 9.625라는 실수를 표현하고 싶다고 과정한다.
2. 정수부와 소수부를 각각 2진수로 변환
   • 정수부 : 9 = 1001₂
   • 소수부는 각각 2를 곱하고 정수 부분을 추출
   • 소수부 : 0.625 * 2 = 1.25, 0.25 * 2 = 0.5, 0.5 * 2 = 1 → 0.101₂
   • 여기서 정수부와 소수부를 합치면 1001.101₂ 라는 결과가 나오게 됨
3. 정규화 과정을 통해 소수점을 맨 왼쪽 '1' 바로 뒤에 오도록 함
   • 1001.101₂ = 1.001101₂ * 2³ 
   • 부호(SIgn) 비트 : 0₂ (양수)
   • 지수(Exponent) 비트 : 3 + 127(Bias) →10000010₂
     • 여기서 Bias 란 음수 지수를 0 이상의 양수로 변환 시켜 빠른 크기 비교를 위해 지수에 가산되는 임의의 값
     • 해당 변환 과정에서는 8비트(0~254) 의 크기를 가지는 float을 기준으로 하기 때문에 127을 더해줌
     • 지수가 -50 이면 bias값 127을 더하여 77이라는 양수 값을 갖게함. 
   • 가수(Fraction/Mantissa) 비트 : 00110100000000....₂
     • 맨 앞에 1은 항상 존재하므로 생략하고, 23 bit가 될 수 있도록 나머지 bit 들을 0으로 채워줌
4. 최종 결과는 01000001000110100000000₂

 

4. float과 double의 차이

항목	float (단정밀도)	double (배정밀도)
메모리 크기	4 바이트 (32비트)	8 바이트 (64비트)
유효 자릿수	약 7자리	약 15~17자리
C++ 기본값	0.2f (f 접미사 필요)	0.2 (기본 리터럴 타입)
용도	그래픽스, 모바일 게임 (메모리 절약)	일반적인 공학 계산, 금융, 통계